Historia del Cálculo

De la Roma Clásica a la Edad Media

El término "cálculo" procede del latín calculus, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el Suanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

La consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos lógicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los estoicos, los megáricos, la Escolástica.

Los algoritmos actuales del cálculo aritmético, utilizados universalmente, son fruto de un largo proceso histórico. De vital importancia son las aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX

Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.

El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.

El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna

A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática en el tercer tercio del siglo XX.

A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. De especial importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.

Renacimiento

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stevin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el siglo XVII.

Siglos XVII y XVIII

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.

Siglos XIX y XX

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o espacio de fases de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.

La lógica asimismo sufrió una transformación radical. La formalización simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático viene a considerarse como meramente utilitaria.

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.

Mediante el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y lógicas polivalentes.

Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.

Actualidad

En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones por segundo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

Newton

Comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."

 En 1664 se cerró provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a la gran peste (bubónica), y Newton volvió a Woolsthorpe, donde paso un año y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos científicos. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que “había encontrado el método inverso de las fluxiones”, es decir, el cálculo integral y e método para calcular las superficies encerradas en curvas como la hipérbole, y los volúmenes y de los sólidos. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibnitz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.

 Su segundo gran descubrimiento se relacionó con la Teoría de la Gravitación.

 El tercer gran esfuerzo, correspondió a la esfera de la óptica y la refracción de la luz.

Leibniz

En la historia del cálculo se encuentra la controversia de quién fue el inventor del cálculo, si Newton o Leibniz, algunos le dan la primicia a Newton y otros a Leibniz, pero se generaliza que Newton tuvo primero las ideas y que Leibniz las descubrió igualmente algunos años más tarde. Pero sin duda Leibniz merece igual crédito que Newton, por lo tanto sus aportaciones al cálculo fueron sobresalientes. Leibniz estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante. Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona (ver biografía de Bernoulli) y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales.

No cabe duda que su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral, así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual), así como su notación para las derivadas dx/dy, y su notación para las integrales