De la Roma Clásica a la Edad Media
El
término "cálculo" procede del latín calculus, piedrecita que se mete
en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas
en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el Suanpan chino,
constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.
Los
antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los
que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de
llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de
figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.
La
consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en
todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos
lógicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos
categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los
estoicos, los megáricos, la Escolástica.
Los
algoritmos actuales del cálculo aritmético, utilizados universalmente, son
fruto de un largo proceso histórico. De vital importancia son las aportaciones
de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX
Se
introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye
definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional de las
mismas, introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de números
en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, hacía muy difícil un
procedimiento mecánico de cálculo.
El
sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los
comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.
El
concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió
especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un
lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de
la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
A
fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir
de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este
sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las
tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser
como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las
amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a
partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la
informática en el tercer tercio del siglo XX.
A
finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los
partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. De especial
importancia es la creación del sistema contable por partida doble inventado por
Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.
Renacimiento
El
sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue
creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los
negocios de la burguesía renacentista.
El
desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un
lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano
de los grandes matemáticos renacentistas como Tartaglia, Stevin, Cardano o
Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos
problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes
descubrimientos que hicieron posible el progreso científico que surgirá en el
siglo XVII.
Siglos XVII y XVIII
En
el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más
destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo
infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción,
el nombre de cálculo.
El
concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el
desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adquiere una
importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer
relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la
ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia
frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que
ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física
como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los
cuerpos materiales, en cuanto materiales.
A
partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos
sobre la realidad física, cuya comprobación experimental supone la confirmación
de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método
científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación
Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.
Siglos XIX y XX
Durante
el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóricos
fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en mecánica como en
electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue
impresionante. Las geometrías no euclidianas encuentran aplicación en modelos
teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas
partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un
espacio de configuración o espacio de fases de n dimensiones que físicamente se
hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la
teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico.
La
lógica asimismo sufrió una transformación radical. La formalización simbólica
fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el
punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo matemático
viene a considerarse como meramente utilitaria.
En
la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de
formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la
lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalización del
concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo,
sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de
infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor.
Mediante
el cálculo la lógica encuentra nuevos desarrollos como lógicas modales y
lógicas polivalentes.
Los
intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y
Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell
etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la
demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto:
consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lógicas,
matemáticas y científicas.
Actualidad
En
la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo
lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho
material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una
dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por
los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de
cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de
operaciones por segundo.
El
cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la
investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización
de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo
numérico.
Newton
Comparte
con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial,
que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras
áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio. El matemático y
físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue
el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo
se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."
En 1664 se cerró provisionalmente la
Universidad de Cambridge debido a la gran peste (bubónica), y Newton volvió a
Woolsthorpe, donde paso un año y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus
grandes descubrimientos científicos. El primero fue el binomio de Newton y los
elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que
“había encontrado el método inverso de las fluxiones”, es decir, el cálculo
integral y e método para calcular las superficies encerradas en curvas como la
hipérbole, y los volúmenes y de los sólidos. Años más tarde, cuando se
publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán
Leibnitz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos,
independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.
Su segundo gran descubrimiento se relacionó
con la Teoría de la Gravitación.
El tercer gran esfuerzo, correspondió a la
esfera de la óptica y la refracción de la luz.
Leibniz
En
la historia del cálculo se encuentra la controversia de quién fue el inventor
del cálculo, si Newton o Leibniz, algunos le dan la primicia a Newton y otros a
Leibniz, pero se generaliza que Newton tuvo primero las ideas y que Leibniz las
descubrió igualmente algunos años más tarde. Pero sin duda Leibniz merece igual
crédito que Newton, por lo tanto sus aportaciones al cálculo fueron
sobresalientes. Leibniz estableció la resolución de los problemas para los
máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo
diferencial; dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para
hallar la curva cuya subtangente es constante. Expuso los principios del
cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona (ver biografía de
Bernoulli) y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones
diferenciales.
No
cabe duda que su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e
integral, así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor
explicación del cálculo, como el signo = (igual), así como su notación para las
derivadas dx/dy, y su notación para las integrales
